Logarytmy (wstęp do decybeli)

Logarytm nie jest niczym skomplikowanym jeżeli tylko rozumiemy czym jest potęgowanie. Zapis typu 6², 10³ lub 3⁴ powinien być dla każdego zrozumiały. To po prostu 6 x 6, 10 x 10 x 10 oraz 3 x 3 x 3 x 3. Z czystej wygody stosujemy zapis potęgowy, zwłaszcza chcąc zapisać większą ilość mnożeń np.  2²⁴ zamiast 24 razy pisać 2 x …

W naszym pierwszym przykładzie potęgi 6², liczba 6 jest nazywana podstawą potęgi, a 2 jest wykładnikiem potęgi (mówi do której potęgi podnosimy liczbę – podstawę).

Logarytm jest właśnie odpowiedzią na pytanie do której potęgi mamy podnieść liczbę.

Log₂ 8 to po prostu pytanie do której potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać liczbę 8. W tym przypadku wiemy że jest to 3, a więc log₂ 8=3. Tyle wystarczy pamiętać aby zrozumieć logarytm. Nic więcej nie kryje się pod tą tajemniczą nazwą.

Wiedząc czym jest logarytm dobrze byłoby przyswoić sobie parę innych równie prostych, ale też bardzo przydatnych kwestii.

Podstawa logarytmu

W potęgowaniu mieliśmy podstawę, również w logarytmach mamy podstawę. Jest to liczba stojąca przy symbolu log. W naszym przykładzie logarytm Log₂ 8 ma podstawę 2.

Czytanie zapisu logarytmu

Log₂ 8 = 3, czytamy: logarytm o podstawie 2 z liczby 8 równy jest 3.

Różne podstawy logarytmu

Logarytm może mieć dowolną podstawę, najczęściej jednak spotykane są dwie:

Podstawa 10: log₁₀ to logarytm dziesiętny i można zapisać go nie pisząc podstawy, zapis log jest równoważny zapisowi log₁₀. Jest to często stosowany logarytm i występuję w większości kalkulatorów. Odpowiada na pytanie do której potęgi należy podnieść liczbę 10, aby uzyskać liczbę stojąca obok podstawy logarytmu.

Podstawa e: ln to logarytm naturalny, jego podstawą jest liczba e (e jest to stała matematyczna równa w przybliżeniu 2,72 tak jak np. liczba Π =3,14), zapis log_e jest równoważny zapisowi ln. Częściej stosuje się ln i występuje on również w większości kalkulatorów.

Przykłady

log­₁₀ 100

Ile będzie wynosił taki logarytm? Musimy odpowiedzieć na pytanie do jakiej potęgi podnieść 10, aby uzyskać 100. Odpowiedź brzmi do drugiej, a więc log­₁₀ 100 = 2.

ln156

ile będzie wynosił taki logarytm? Odpowiedź nie jest już tak łatwa do policzenia w pamięci, musimy posłużyć się kalkulatorem. Wpisujemy w kalkulatorze liczbę 156, następnie wciskamy przycisk ln. Otrzymujemy wynik ok. 5,05.

Zatem liczba e (w przybliżeniu 2,7) podniesiona do potęgi 5,05 powinna dać nam liczbę 156.

Sprawdźmy stosując przybliżenie: 2,7⁵  = 143 (wynik jest niedokładny w związku z dość dużym przybliżeniem, dla dokładniejszych wartości liczby e oraz wykładnika potęgi: 2,7182818^5,049856 mamy już 155,99).

Ważne własności logarytmów

log ab = log a + log b

czyli np. log 6 = log (2x3) = log 2 + log 3

log aⁿ = n log a

czyli np. log 16 = log (4²) = 2 log 4

____________________________________________________________________

Wszelkie prawa zastrzeżone 
Copyright © Michał Pytko 2010